इस आर्टिकल (article) में हम त्रिभुज (Triangle in hindi) के बारे में चर्चा और अध्ययन करेंगे। ज्यमिति (geometry) में , त्रिभुज एक 3 भुजा वाला बहुभुज (Polygon) है जिसके तीन किनारे/शीर्ष (vertex) होते हैं। त्रिभुज का सबसे महत्वपूर्ण गुण (Triangle property in hindi) यह है कि उसके आंतरिक कोणों (internal angle) का योग 180° होता है। जिसकी वजह से इन गुणों को त्रिभुज का कोण योग गुण (angle sum property) भी कहा जाता है।

यदि ABC कोई एक त्रिभुज है तो उसे ΔABC से प्रदर्शित किया जाता है और यहां A , B और C त्रिभुज के कोने/शीर्ष होते हैं।

तो आइए पहले जानते हैं  त्रिभुज की परिभाषा या त्रिभुज किसे कहते हैं?

त्रिभुज किसे कहते हैं ? – Defination of Triangle in hindi

त्रिभुज की परिभाषा , हम ऐसे जान सकते हैं कि त्रिभुज एक प्रकार का बहुभुज (polygon) है जिसकी तीन भुजाएं (sides) और तीन कोने/शीर्ष (vertex) होते हैं। जब दो भुजाएँ अपने अंतिम बिंदु (end point) से जुड़े होते हैं तो है त्रिभुज का शीर्ष कहलाता है और दो भुजाओं के बीच त्रिभुज का कोण बनता है।

त्रिभुज की आकृति -Triangle shape in hindi

त्रिभज की आकृति (triangle shape in hindi) कुछ इस तरह होती है कि यह तीन भुजाओं वाला बहुभुज है। इसकी सभी भुजाएं सीधी रेखा (straight line) होती है। वह बिंदु जहां से दो सीधी रेखा जुड़ी है वह उसका शीर्ष (vertex) होता है और त्रिभुज के तीन शीर्ष होते हैं। सभी शीर्ष एक कोण (angle) बनाते हैं।

त्रिभुज के कोण (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग) – Angle sum property of triangle in hindi

त्रिभुज के तीन कोण होते हैं। यह कोण दो भुजाओं के मिलने पर बनते हैं और वह सामान्य बिंदु (common point) त्रिभुज का शीर्ष होता है। त्रिभुज के तीनों आंतिरिक कोणों (internal angle) का योग 180° होता है।

यदि त्रिभुज की भुजाओं को थोड़ा-सा बढ़ा (extend) दिया जाए तो बाहरी कोण बनता है। त्रिभुज के आंतिरिक और बाहरी (external angle) कोणों का योग पूरक (supplementary angle , 180°) होता है।

मान लीजिए ∠A , ∠B , ∠C त्रिभुज के आंतिरिक कोण है। जब हम त्रिभुज की भुजा की लंबाई थोड़ी बढ़ा देते हैं तो बाहरी कोण बनते हैं , जो कि ∠D , ∠E और ∠F होंगे।

अतः

∠A + ∠D = 180°  …… (i)

∠B + ∠E = 180°  …… (ii)

∠C + ∠F = 180°  …… (iii)

यदि तीनो समीकरण (equations) का योग किया जाए तो ,

∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 180 + 180 + 180

अब , त्रिभुज के तीनों कोण (angle sum property in hindi) का योग के गुण से

∠A + ∠B + ∠C  = 180°

इसलिए ,

180 + ∠D + ∠E + ∠F = 180 + 180 + 180

∠D + ∠E + ∠F = 360°

तो यह सिद्ध करता है कि त्रिभुज के बाह्य कोणों (external angle) का योग 360° होता है।

त्रिभुज के गुण – Property of triangle in hindi

• त्रिभुज के तीन कोण और तीन भुजाएं होती है।

• त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180° होता है।

• त्रिभुज के बाह्य कोणों (external angle) का योग 360° होता है।

• आंतरिक और बाह्य कोणों का योग पूरक (180°) होता है।

• त्रिभुज की किसी भी दो भुजाओं (sides) की लंबाई (length) का योग तीसरी भुजा की लंबाई से ज्यादा होता है , उसी प्रकार त्रिभुज की किसी भी दो भुजाओं की लंबाई का अंतर तीसरी भुजा की लंबाई से कम होता है।

त्रिभुज के प्रकार (Tribhuj ke prakar) – Types of Triangle in hindi

त्रिभुज की भुजा की लंबाई (height) के आधार (Base) पर त्रिभुज को तीन श्रेणी में वर्गीकरण किया गया है ;

1) विषमभुज त्रिभुज (Scalene Triangle)

2) समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle)

3) समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle)

त्रिभुज के कोणों के अधार पर त्रिभुज को तीन श्रेणी में वर्गीकरण किया गया ;

1) न्यून कोण त्रिभुज (Acute angle triangle)

2) समकोण त्रिभुज (Right angle triangle)

3) अधिक कोण त्रिभुज (Obtuse angle triangle)

विषमभुज त्रिभुज – Scalene Triangle in hindi

विषमभुज त्रिभुज एक प्रकार (Tribhuj ke prakar) के त्रिभुज होता है जिसमे तीनो भुजाएँ अलग-अलग माप की होती है। जिसकी वजह से त्रिभुज के तीनों कोण एक-दूसरे से अलग-अलग होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज – Isosceles Triangle in hindi

 समद्विबाहु त्रिभुज भी एक प्रकार का त्रिभुज है जिसमें दो भुजाओं की लंबाई बराबर होती है और दो कोण जो बराबर भुजाओं के द्वारा कोण बनाते है और वे आपस में बराबर (equal) होते हैं।

समभुज/समबाहु त्रिभुज – Equilateral Triangle in hindi

समभुज/ समबाहु त्रिभुज के तीनों भुजाएं बराबर होती है। इसकी वजह से सारे आंतिरिक (internal angle) कोण बराबर होते हैं यानी हर एक कोण 60° होगा।

तीव्र/न्यून कोण त्रिभुज – Acute angle triangle in hindi

 तीव्र/न्यून कोण त्रिभुज के सभी कोण 90° से कम होते हैं।

समकोण त्रिभुज – Right angle triangle in hindi

समकोण त्रिभुज में , एक  90° का कोण होता है यानी समकोण।

अधिक कोण त्रिभुज – Obtuse angle triangle in hindi

अधिक कोण त्रिभुज का एक कोण 90° से अधिक होता है।

त्रिभुज का परिमाप – Perimeter of Triangle in hindi

त्रिभुज का परिमाप को परिभाषित कुछ इस तरह किया जाता है कि त्रिभुज की बाहरी सीमा की कुल लंबाई और अन्य शब्दों में कहा जाए तो त्रिभुज की तीनो भुजाओं की लंबाई का योग त्रिभुज के परिमाप (perimeter of triangle in hindi) के बराबर होता है।

परिमाप = सभी भुजाओं का योग

यदि एक ΔABC त्रिभुज है जिसके AB , BC और AC भुजाओं (sides) की लंबाई है तो त्रिभुज ABC का परिमाप ;

परिमाप = AB + BC + AC

त्रिभुज का क्षेत्रफल  – Area of Triangle in hindi

त्रिभुज का क्षेत्रफल , त्रिभुज की भुजाओं द्वारा घिरा हुआ स्थान होता है। त्रिभुज का क्षेत्रफल हम आसानी से ज्ञात कर सकते हैं यदि हमें त्रिभुज की लंबाई और आधार मालूम हो तो –

मान लीजिए एक त्रिभुज जिसका आधार (B) और लंबाई (H) है तो ,

त्रिभुज का क्षेत्रफल का फार्मूला (area of triangle formula in hindi) –

 त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × लंबाई

= 1/2 × B × H

हीरोन फार्मूला से त्रिभुज का क्षेत्रफल – Heron’s formula for Triangle in hindi

इस फार्मूले के लिए हमें त्रिभुज की लंबाई नहीं चाहिए होती है। केवल त्रिभुज की सभी भुजाओं का मान मालूम होना चाहिए।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए –

 s = (a + b + c)/2

यहाँ a , b और c भुजाओं की लंबाई है

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √[s (s-a) (s-b) (s-c)

पूछे जाने वाले कुछ महत्वपूर्ण प्रश्न – Important Question for triangle

प्रश्न : गणित में त्रिभुज के कितने प्रकार होते हैं ?

उत्तर : गणित में मुख्य रूप से छः 6 प्रकार के होते है –

1) विषमभुज त्रिभुज

2) समद्विबाहु त्रिभुज

3) समभुज/समबाहु त्रिभुज

4) तीव्र/न्यून कोण त्रिभुज

5) समकोण त्रिभुज

6) अधिक कोण त्रिभुज

प्रश्न : त्रिभुज के परिमाप का फार्मूला क्या होता है ?

उत्तर : त्रिभुज के परिमाप का फॉर्मूला = सभी भुजाओं की लंबाई का योग

प्रश्न : त्रिभुज के क्षेत्रफल का फॉर्मूला क्या होता है ?

उत्तर : त्रिभज के क्षेत्रफल का फार्मूला = 1/2 × आधार × लंबाई

प्रश्न : यदि एक त्रिभज ABC है जहाँ AB = 3cm , BC = 4cm और CA = 5cm तो , त्रिभज परिमाप ज्ञात कीजिये।

उत्तर : दिया गया , त्रिभुज ABC है

AB = 3cm

CA = 5cm

तो जैसा हमे फ़ॉर्मूला मालूम हैं।

परिमाप = AB + BC + CA

           = 3 + 4 + 5

           = 12cm

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