आपने विभिन्न प्रकार के बहुपदों (polynomial) का पद (quadratic polynomial) है। यदि हम इसे शून्य (zero) के बराबर कर दें तो एक द्विघात (quadratic equation) समीकरण प्राप्त होगी।
इस आर्टिकल (article) को हम अध्ययन करके कई वास्तविक जीवन से संबंधित समस्याओं को हल कर सकते हैं।
आइए सबसे पहले हम जान लेते हैं कि द्विघात समीकरण (Quadratic equation) क्या है ?
द्विघात समीकरण समीकरण है ? (What is Quadratic equation) :
द्विघात समीकरण वह समीकरण (equation) है जिसकी बहुपद की घात (power) 2 होती है।
इसे हम व्यापक रूप (general from) ax² + bx + c (जहां a शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए) लिख सकते हैं।
यदि इस समीकरण या बहुपद को हम शून्य के सामान रख दे तो इसके मूल (Roots) ज्ञात कर सकते हैं।
द्विघात समीकरण को हल करने के तरीके (Methods to solve quadratic equation) :
1) गुणनखंड (Factorization method) –
इस तरीके में हम द्विघात (Quadratic equation) समीकरण के x² के गुणांक को और c वाले चर को गुणा करके उसका गुणनफल (multiplication) करना होता है। उस गुणनफल (factorization) के फैक्टर्स (factors) को योग या घटाकर आपस में समीकरण के मध्य जो कि x का गुणांक (coefficient) है , उसके बराबर होना चाहिए। उदाहरण के लिए ,
यह एक द्विघात समीकरण है ,
6x² – x – 2 = 0
6x² + 3x – 4x – 2 = 0
3x ( 2x + 1) – 2 ( 2x + 1)= 0
(3x – 2) ( 2x + 1) = 0
3x – 2 = 0 Or 2x + 1 = 0
x = 2/3 Or x = -1/2
तो इस तरह हम इसे हल कर सकते हैं।
2) पूर्ण वर्ग बनाकर (complete squaring method) :
इसे समझने के लिए हमें एक उदाहरण की आवश्यकता होगी। तो,
तो इस तरह के से भी हम द्विघात (Quadratic equation) समीकरण को हल कर सकते हैं।
3) श्रीधरोचार्य (shridharocharya method) :
हम इसे द्विघात फॉर्मूला (Quadratic formula) और विविक्तार (discriminant method) भी कहते हैं।
यदि हमारे पास द्विघात समीकरण है।
जिसका रूप ,
ax² + bx + c =0
तो इसके मूल ,
x = -b +/- √b² – 4ac /2a यहां ,
√b² – 4ac = D
तो ,
x = -b +/- √D/2a
तो इस तरह के से भी हम द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं।
मूल की प्रकृति (Nature of roots) :
क्योंकि b² – 4ac यह निश्चित करता है कि द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल वास्तविक (real roots) है अथवा नहीं , b² – 4ac को इस द्विघात समीकरण का विविक्तार (discriminant) कहते हैं।
अतः द्विघात समीकरण (Quadratic equation) ax² + bx + c = 0 के
(i) यदि b² – 4ac > 0 हो , तो दो भिन्न वास्तविक मूल (distinct real roots) होते हैं।
(ii) यदि b² – 4ac = 0 हो , तो दो बराबर वास्तविक मूल (equal roots) होते हैं।
(iii) यदि b² – 4ac < 0 हो तो कोई वास्तविक मूल (No real roots) नहीं होता ।
आइए सभी से कुछ उदाहरण देख लेते हैं
उदाहरण : गुणनखंड द्वारा निम्नलिखित द्विघात समीकरणों की मूल ज्ञात कीजिए।
(i) x2 – 3x – 10 = 0
(ii) 2×2 + x – 6 = 0
(iii) √2 x2 + 7x + 5√2 = 0
हल :
(i) दिया हुआ , x2 – 3x – 10 =0
LHS ले ,
=>x2 – 5x + 2x – 10
=>x(x – 5) + 2(x – 5)
=>(x – 5)(x + 2)
समीकरण के मूल, x2 – 3x – 10 = 0 का मान
(x – 5)(x + 2) = 0
इसलिए , x – 5 = 0 or x + 2 = 0
=> x = 5 or x = -2
(ii) दिया हुआ , 2×2 + x – 6 = 0
LHS ले ,
=> 2×2 + 4x – 3x – 6
=> 2x(x + 2) – 3(x + 2)
=> (x + 2)(2x – 3)
समीकरण के मूल , 2×2 + x – 6=0 का मान (x – 5)(x + 2) = 0
इसलिए , x + 2 = 0 or 2x – 3 = 0
=> x = -2 or x = 3/2
(iii) √2 x2 + 7x + 5√2=0
LHS ले ,
=> √2 x2 + 5x + 2x + 5√2
=> x (√2x + 5) + √2(√2x + 5)= (√2x + 5)(x + √2)
समीकरण के मूल √2 x2 + 7x + 5√2=0 का मान x
(x – 5)(x + 2) = 0
इसलिए , √2x + 5 = 0 or x + √2 = 0
=> x = -5/√2 or x = -√2
उदाहरण : निम्नलिखित द्विघात समीकरणों की मूल की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि वास्तविक मूल मौजूद हैं, तो उन्हें ज्ञात कीजिये।
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 3x² – 4√3x + 4 = 0
हल :
(i) दिया है
2×2 – 3x + 5 = 0
Ax2 + bx + c = 0 के साथ समीकरण की तुलना करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
a = 2, b = -3 और c = 5
हम जानते हैं, भेदभाव = b2 – 4ac
= (-4√3)2 – 4(3)(4)
= 48 – 48 = 0
जैसा कि आप देख सकते हैं, b2 – 4ac <0
इसलिए, दिए गए समीकरण, 2×2 – 3x + 5 = 0 के लिए कोई वास्तविक जड़ संभव नहीं है।
(ii) 3×2 – 4√3x + 4 = 0
Ax2 + bx + c = 0 के साथ समीकरण की तुलना करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
a = 3, b = -4√3 और c = 4
हम जानते हैं, भेदभाव = b2 – 4ac
= (-4 (3) 2 – 4 (3) (4)
= 48 – 48 = 0
b2 – 4ac = 0,
वास्तविक समीकरण दिए गए समीकरण के लिए मौजूद हैं और वे एक दूसरे के बराबर हैं।
अतः समीकरण के मूल
–b/2a and –b/2a.
–b/2a = -(-4√3)/2×3 = 4√3/6 = 2√3/3 = 2/√3
इसलिए , मूल होंगे 2/√3 और 2/√3.
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