Polynomial in Hindi – बहुपद की परिभाषा

आप एक चर वाले बहुपदो (polynomial in Hindi) उनके घातों (degree) के बारे में जानते होंगे। याद कीजिए कि चर x के बहुपद p(x) में x की उच्चतम घात (power) बहुपद की घात (degree)  कहलाती है।

 उदाहरण के लिए 4x² + 2 चर x में घात 1 का बहुपद है , 2y² – 3y + 4 चर y में घात 2 का बहुपद है , 5x³ – 4x² + x – √2 चर x में घात 3 का बहुपद है और 7u⁶ – 3/2u⁴ + 4u² + u – 8 चर  u में घात 6 का बहुपद है।

आगे हम जानेंगे कि बहुपद के कितने प्रकार होते हैं और उसके प्रकारों के बारे में अध्ययन करेंगे आपको इसके बारे में जानकर बेहद रूचि होगी क्योंकि इसे ध्यान से संबंधित बहुत सारी प्रश्न न ही केवल स्कूल परीक्षा में सरकारी नौकरी जैसे SSC CHSL , SSC CGL , NDA CDS और CAT  आदि परीक्षा में पूछा जाता है।

बहुपद की परिभाषा | Definition of polynomial :

गणित में बहुपद एक समीकरण जिसमें दो से अधिक बीजगणितीय शब्द (algebraic terms) होते हैं , विशेष रूप से कई शब्दों का योग जिसमें एक ही चर (variables) की अलग- अलग घात (power) होती हैं।

उदाहरण के लिए –

4x² + 6x + 3 , x⁴ + 2x³ + 3x² + 2 और 7x³ – 4x² + 2x -4

बहुपद के प्रकार | Types of Polynomial :

बहुपद के तीन प्रकार होते है –

1)  रैखिक बहुपद (linear polynomial) : रैखिक बहुपद में घात 1 के बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।

 उदाहरण के लिए,

2x – 3 , √3x + 5 , y + √2 , x – 2/11 , 3z + 4 , 2/3u + 1 , इत्यादि सभी  रैखिक बहुपद है जबकि 2x + 5 – x² , x³ + 1 , आदि प्रकार के बहुपद रेखिक बहुपद नहीं है क्योंकि इसमें घात 2 के और 3 के बहुपद है।

2)  द्विघात बहुपद (Quadratic polynomial) : इसमें घात 2 के बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं। द्विघात (quadratic) शब्द क्वाड्रेट शब्द से बना है जिसका अर्थ है वर्ग। 2x² + 3x – 2/5 , y² – 2 , 2 – x² + √3x , 4/3 – 2u² + 5 , √5v² – 2/3v , 4z² + 1/7 , द्विघात बहुपद के कुछ उदाहरण है जिनके गुणांक वास्तविक  संख्याएं हैं। अधिक व्यापक रूप में x में कोई द्विघात बहुपद ax² + bx + c जहाँ a , b , c वास्तविक संख्याएं हैं ।

3) त्रिघात बहुपद (Cubic polynomial) :  इसमें घात 3 का बहुपद त्रिघात बहुपद कहलाता है।

उदाहरण के लिए ,

2 – x³ , x³ , √2x³ , 3 – x² + x³ , 3x³ – 2x² + x – 1

वास्तव में त्रिघात बहुपद cubic polynomial)  का सबसे व्यापक रूप (general form) है –

ax³ + bx² + cx + d ,

जहाँ a , b , c , d  वास्तविक संख्याए हैं।

शुन्यक (Zeroes) :

किसी बहुपद में ऐसी कोई संख्या जिसे बहुपद के चरो में रखने पर बहुपद शून्य हो जाए वह संख्या उस बहुपद (polynomial) का शुन्यक कहलाता है।

उदाहरण के लिए ,

p(x) = x² – 3x – 4

यदि हम x = -1 लें तो ,

p(-1) = (-1)² – 3(-1) – 4

         = 1- 3(-1) – 4

         = 3 – 3 = 0

p(-1) = 0

और यदि हम x = 4 लें तो ,

p(4) = (4)² – 3(4) – 4

        = 16 – 12 – 4

        = 12 – 12 = 0

p(4) = 0

यानी ऊपर दिए गए बहुपद के शुन्यक -1 और 4 है।

बहुपद के शुन्यको का ज्यामितीय अर्थ (geometrical meaning of the zeros of a polynomial) :

यदि हम किसी भी बहुपद को ग्राफ पेपर पर ग्राफ खींचे तो बहुपद के द्वारा संचित रेखा जितनी बार x – अक्ष (x – axis) को विभाजन या छूकर जाएगी तो उस बहुपद के उतने ही शून्य होंगे। ध्यान रहे यदि बहुपद x चरों में है तो x -अक्ष और यदि बहुपद y चरो में है तो y – अक्ष को विभाजन करने वाली रेखाएं उसके शुन्यक में गिना जाएगा।

 उदाहरण के लिए ,

p(x) = x² – 3x – 4

जैसे कि ऊपर दिख रहा है कि बहुपद की जो रेखाएं हैं वह x – अक्ष को दो बार काट रही है , यानी इसके दो शुन्यक है और जिस बिंदु पर रेखा काट रही है उस बिंदु का निर्देशांक उसका शून्य होगा।

बहुपद के शून्यकों और गुणाकों में संबंध (relationship between zeros and coefficient of a polynomial) :

किसी भी बहुपद के शून्यक ज्ञात करने के लिए उस बहुपद को शून्य के समान रखकर उसे (middle term splitting) method से ज्ञात कर सकते हैं। जैसे रैखिक बहुपद (linear polynomial) ax + b का शून्यक -b/a  होता है।

अब ,

हम द्विघात बहुपद (Quadratic polynomial) के शून्यको और उसके गुणाको के संबंध देखेंगे। मान लीजिए हमारे पास एक द्विघात बहुपद है जिसका व्यापक रूप (general form)

ax² + bx + c = 0  है।

यदि हम मान ले कि ऊपर दिए गए द्विघात बहुपद के शून्यक और हैं तो उसके शुन्यक और गुणाको का संबंध यह होगा –

α + β = -b/a = – (x का गुणांक )/(x² का गुणांक) = -(coefficient of x)/(coefficient of x²)

और,

αβ = c/a =  अचर पद/( x² का गुणांक) = constant term/ (coefficient of x²)

 इसे हम ऐसे भी लिख सकते हैं ,

शून्यको का योग (sum of zeros) = α + β = -b/a

और,

शून्यको का गुणनफल (product of zeros) = αβ = c/a

यहां a , b , c का मान ऊपर दिए गए द्विघात बहुपद के गुणाक से ज्ञात हो जाएगा ।

उदाहरण  : द्विघात बहुपद x² + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यको तथा गुणाकों के बीच के संबंध की सत्यता की जांच कीजिए।

x² + 7x + 10 = 0

(x + 2) (x + 5) = 0

x + 2 = 0      |     x + 5 =0

x = -2                  x = -5

 यहां पहला शुन्यक -2 और  दूसरा -5 है।

अब,

शुन्यको का योग (sum of zeros) = α + β = -b/a

   = -2 + (-5) = -(7)/1 =  – (x का गुणांक )/(x² का गुणांक)

-7 = -7

शुन्यको का गुणनफल (product of zeros) = αβ = c/a = अचर पद/( x² का गुणांक)

= -2 × -5 = 10/1

10 = 10

मान लीजिए हमारे पास त्रिघात बहुपद (cubic polynomial) है जिसका व्यापक रूप (general form) –

ax³ + bx² + cx + d = 0

यदि हम मान ले कि ऊपर दिए गए त्रिघात बहुपद के शून्यक α , β और γ है , तो उसके शुन्यक और गुणाको  का संबंध कुछ ऐसा होगा –

α + β + γ = -b/a = – (x² का गुणांक )/(x³ का गुणांक) = (coefficient of x²)/(coefficient of x³)

और,

αβ + βγ + αγ = c/a = (x का गुणांक )/(x³ का गुणांक) = (coefficient of x)/(coefficient of x³)

और,

αβγ = d/a = अचर पद/( x का गुणांक) = constant term/ (coefficient of x³)

बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (division algorithm for polynomial) :

किसी भी बहुपद के विभाजन के लिए हमें कुछ नियमों का अवश्य पालन करना होगा ।

p(x)  हमारे भाज्य बहुपद , g(x)  भाजक बहूपद , q(x) भागफल और r(x) शेषफल है।

यहां हम पूनः देखते हैं कि ,

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

हम यहां जिस एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर रहे हैं वह यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म जैसा है। इसके अनुसार,

 यदि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद है जहां g(x)( 0 के बराबर नही है) हो तो हम बहुपद g(x) और r(x) ऐसे प्राप्त कर सकते हैं कि –

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)

जहाँ r(x) = 0 है अथवा r(x) की घात < g(x) की घात है।

यह निष्कर्ष बहु पदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म कहलाता है।

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