इस आर्टिकल में हम क्षेत्रमिति (Mensuration in Hindi) के बारे में चर्चा और अध्ययन करेंगे। क्षेत्रमिति जो है वह एक गणित की शाखा है जिसमें ज्यामिति आकार के मापों को जैसे – लंबाई , आयतन , पृष्ठीय क्षेत्रफल , पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (lateral surface area) को पढ़ते हैं। यहाँ हम क्षेत्रमिति के बारे में और सभी महत्वपूर्ण क्षेत्रमिति के फार्मूला (Mensuration formulas in Hindi) को पढ़ेंगे। साथ ही ज्यामिति आकारों (geometry shapes) के गुणों की भी चर्चा करेंगे।

तो आइए क्षेत्रमिति के बारे में जानते हैं।

क्षेत्रमिति – Mensuration in Hindi

क्षेत्रमिति , गणित की एक शाखा है जिसमें 2-D और 3-D ज्यामिति आकारों के मापों को अध्ययन किया जाता है। ज्यामिति आकार जो है वह 2-D ओर 3-D में होते हैं।

2-D और 3-D आकार मे अंतर – Difference between 2-D and 3-D shapes in Hindi

2-D और 3-D आकार मे अंतर –

2-D आकार	3-D आकार
1) यदि कोई 2-D आकार किसी सतह में 3 या उससे ज्यादा सीधी रेखा से घिरा है तो वह एक 2-D आकार होगा।	1) यदि कोई आकार कुछ सतहों से घिरा हुआ है तो वह एक 3D आकार होगा।
2) इन आकारों की गहराई और ऊंचाई नहीं होती है।	2) इन आकारों को ठोस आकार भी कहा जाता है और इनकी गहराई को ऊंचाई भी भी होती है।
3) इन आकारों में केवल 2 आयाम होते हैं – लंबाई और चौड़ाई।	3) इन आकारों के 3 आयाम होते हैं – लंबाई चौड़ाई और ऊंचाई।
4) इसके हम केवल क्षेत्रफल और परिमाप ही माप सकते हैं।	4) इसके हम वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल , पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और घनाभ माप सकते हैं।

गणित में क्षेत्रमिति – महत्वपूर्ण short forms

• क्षेत्रफल (Area) : बंद आकार द्वारा घिरा हुआ स्थान क्षेत्रफल कहलाता है।

इसे “A” से संबोधित किया जाता है।

इसका माप m²/cm² में किया जाता है।

• परिमाप (Perimeter in Hindi) : किसी आकार की बाहरी रेखा द्वारा कुल दूरी परिमाप कहलाता है।

इसे “P” से संबोधित किया जाता है।

इसका माप cm/m में किया जाता है।

• आयतन (Volume) : वह स्थान जो किसी 3-D आकार द्वारा घिरा हो वह आयतन कहलाता है।

इसे “V” से संबोधित किया जाता है।

इसका माप cm³/m³ में किया जाता है।

• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved surface area) : वह स्थान जो आकार का घुमावदार सतह का क्षेत्रफल बताता है।

इसे “CSA” से संबोधित किया जाता है।

इसका माप cm²/m² में किया जाता है।

• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total surface area) : वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कहलाता है।

इसे “TSA” से संबोधित किया जाता है।

इसका माप cm²/m² में किया जाता है।

• स्क्वायर यूनिट (Square unit) : वह क्षेत्रफल जो वर्ग द्वारा घिरा होता है जिसका एक यूनिट स्क्वायर यूनिट (cm²/m²) कहलाता है।

• क्यूबिक यूनिट (Cubic unit) : वह स्थान जो घन द्वारा घिरा होता है। (cm³/m³)

क्षेत्रमिति के फार्मूले – Mensuration formulas in Hindi

तो अब क्षेत्रमिति के कुछ महत्वपूर्ण फार्मूला को पढ़ेंगे जिसमें 2-D और 3-D आकार दोनों को देखेंगे। यदि इन क्षेत्रमिति के फार्मूला का पता हो तो इनसे संबंधित प्रश्न आसानी से हल हो जाते हैं। तो हम 2-D और 3-D आकार के फार्मूला को अलग-अलग देखेंगे।

― Mensuration formulas in Hindi – क्षेत्रमिति के फॉर्मूला नीचे दिए गए है।

क्षेत्रमिति फॉर्मूला 2-D आकार के लिए – Formula for 2-D shapes

• वर्ग (Square) –

   क्षेत्रफल (A) = a²

   परिमाप (P) = 4a

• आयात (Rectangle) –

   क्षेत्रफल (A) = l × b

   परिमाप (P) = 2(l + b)

• वृत (Circle) –

   क्षेत्रफल (A)= πr²

   परिमाप (P)= 2πr

• विषमभुज त्रिभुज (Scalene triangle in Hindi) –

   क्षेत्रफल (A) = √s(s–a) (s–b) (s–c)

यहाँ s = (a + b + c)/2

   परिमाप (P) = a + b + c

• समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles triangle) –

   क्षेत्रफल (A) = ½ × b × h

   परिमाप (P) = 2a + b

• समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle) –

   क्षेत्रफल (A) = √3/4a²

   परिमाप (P) = 3a

• समकोण त्रिभुज (Right angle triangle) –

   क्षेत्रफल (A) = ½ × b × h

   परिमाप (P) = b + hypotenuse + height

• विषमकोण (Rhombus) –

   क्षेत्रफल (A) = ½ × d¹ d²

   परिमाप (P) = 4 × side

• समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) –

   क्षेत्रफल (A) = b × h

   परिमाप (P) = 2(l + b)

• समलम्ब (Trapezium in Hindi) –

   क्षेत्रफल (A) = ½ × h(a + l)

   परिमाप (P) = a + b + c + d

क्षेत्रमिति फार्मूला 3-D आकार के लिए – Formula for 3-D shapes

• घन (Cube) –

आयतन (V) = a³

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफ़ल (LSA) = 4a²

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 6a²

• घनाभ (Cuboid) –

आयतन (V) = l × b × h

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफ़ल (LSA) = 2h(l + b)

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 2(lb + bh + hl)

• गोला (Sphere) –

आयतन (V) = 4/3 πr³

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफ़ल (CSA) =  4πr²

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 4πr²

• अर्धगोला (Hemisphere) –

आयतन (V) = 2/3 πr³

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफ़ल (CSA) = 2πr²

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 3πr²

• बेलन (Cylinder) –

आयतन (V) = πr²h

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफ़ल (CSA) = 2πh

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 2πrh + 2πr²

• शंकु (Cone) –

आयतन (V) = 1/3πr²h

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफ़ल (CSA) = πrl

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = πr (r + l)

क्षेत्रमिति के उदहारण – Examples of mensuration

उदहारण : वर्ग का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। यदि वर्ग की भुजा 6 cm है।

उत्तर : दिया हुआ ,

भुजा (a) = 6 cm

वर्ग का परिमाप = 4a

                      = 4 × 6

                      = 24 cm

वर्ग का क्षेत्रफल = a × a

                      = 6 × 6

                      = 36 cm²

उदहारण : यदि विषमकोण का विकर्ण का माप 8 cm और क्षेत्रफल 64cm² है तो विषमकोण के दूसरे विकर्ण का माप क्या होगा ?

उत्तर : दिया हुआ ,

विकर्ण d¹ = 8 cm

क्षेत्रफल A = 64 cm²

विषमकोण का क्षेत्रफल = ½ × d¹ × d²

64 = ½ × 8 × d

64 = 4 × d

d = 64/4

   = 16

इसलिए ,  विषमकोण का दूसरा विकर्ण का माप 16 cm होगा।

उदहारण : समांतर चतुर्भुज का परिमाप क्या होगा यदि लंबाई 8 cm और चौड़ाई 6 cm है।

उत्तर : दिया हुआ ,

लंबाई (l) = 8cm

चौड़ाई (b) = 6 cm

समांतर चतुर्भुज का परिमाप = 2 (l + b)

= 2 (8 + 6)

= 2 × 14

= 28

इसलिए , समांतर चतुर्भुज का परिमाप 28 cm होगा।

पूछे जाने वाले प्रश्न – FAQ for mensuration in Hindi

प्रश्न : गणित में क्षेत्रमिति क्या होता है ?

उत्तर : गणित में , क्षेत्रमिति में 2-D और 3-D ज्यामिति आकारों  के मापों को अध्ययन करते है जिसमें पृष्ठीय क्षेत्रफल , और आयतन शामिल होते है।

प्रश्न : क्षेत्रमिति और ज्यामिति में क्या अंतर है ?

उत्तर : क्षेत्रमिति में आकारों के परिमाप , क्षेत्रफल , आयतन और आदि के मापों की गणना की जाती है। वहीं ज्यामिति में आकारों के गुण और आकारों के रेखा और बिंदु में संबंधो को अध्ययन किया जाता है।

प्रश्न : 2-D और 3-D क्षेत्रमिति क्या होता है ?

उत्तर : 2-D क्षेत्रमिति में , 2- आयामों वाले आकारों जैसे – वर्ग , आयात , त्रिभुज और वृत के परिमाप और क्षेत्रफल की गणना की जाती है।

3-D क्षेत्रमिति में , 3 – आयामों वाले आकार जैसे – गोला , घनाभ , शंकु , बेलन और घन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल , पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल , कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना और अध्ययन करते है।

प्रश्न : त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होता है ?

उत्तर : त्रिभुज का क्षेत्रफल , त्रिभुज की बाहरी रेखा द्वारा घिरा स्थान त्रिभुज का क्षेत्रफल कहलाता है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल का फार्मूला 1/2 × आधार × ऊंचाई (1/2 × b × h) होता है।

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