आर्टिकल (article) में हम सांख्यिका में माध्यिका (median in statistics) के बारे में चर्चा और अध्ययन करेंगे। इसमें हम माध्यिका के फार्मूला और किसी भी डाटा का माध्यिका ज्ञात करना सीखेंगे। इस

तो आइए जानते हैं कि माध्यिका को कैसे ज्ञात किया जाता है।Median formula in Hindi

गणित में माध्यिका की परिभाषा – What is median in statistics

जब किसी डेटा की सूची को क्रम (order) में रखा जाता है तो उस सूची के बीच वाली संख्या (observation) सांख्यिका में माध्यिका (median in statistics) कहलाती है।

उस सूची का कर्म आरोहित या अवरोहित (increasing or decreasing) ढंग में ही होना चाहिए।

उदाहरण के लिए :

2 , 3 , 4 में “3” माध्यिका है।

गणित में , माध्यिका एक प्रकार का औसत (average) है जो कि केंद्रीय मान (central value) ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

माध्यिका का फार्मूला – Median formula in statistics

माध्यिका का फार्मूला सम (even numbers) और विषम संख्याओं (odd numbers) के लिए अलग-अलग होते हैं इसलिए सबसे पहले यह पहचानना जरूरी है की हमे दिया हुआ डाटा सम संख्या है या विषम संख्या का है।

तो , डेटा का माध्यिका ज्ञात करने का फार्मूला नीचे दिया गया है।

विषम संख्या की Observation/Data :

यदि observations की कुल संख्या विषम है

तो , माध्यिका ज्ञात करने का फार्मूला (Median formula for ungrouped data) –

माध्यिका = {(n + 1)/2}th पद

Median formula ;

यहाँ ,

n – observations की संख्या

सम संख्या की observation/Data :

यदि observation की कूल संख्या सम है।

तो , माध्यिका ज्ञात करने का फार्मूला (Median formula of ungrouped data) –

माध्यिका = (n/2)th पद

Median formula ;

यहां,

n – observations की संख्या

यदि दिया हुआ डाटा सेट बड़े माप (size) का है और रेंज (range) में वर्ग (class) दिए हुए हैं तो ,

माध्यिका ज्ञात करने का फार्मूला (Median formula for grouped data) –

यहां ,

l – माध्यिका वर्ग (median class) की निचली सीमा (lower limit)

n – observation की संख्या

f – आवर्ती (frequency)

h – वर्ग का माप (class size)

C.f – संचयी आवर्ती (cumulative frequency)

माध्यिका कैसे ज्ञात करें – How to find the median

किसी भी डाटा सेट की सबसे बीच वाली संख्या या केंद्रीय मान (central value) उस डाटा का माध्यिका होता है।

माधिका ज्ञात करने के लिए डाटा को क्रम में व्यवस्थित करना होता है , सबसे पहले उन डेटा को या तो छोटे से बड़े में यानी आरोहित रूप में या बड़े से छोटे में यानी अवरोहित रूप (either increasing or decreasing order) में करना होता है। उसके बाद हम आसानी से  माध्यिका (how to calculate median in statistics) ज्ञात कर सकते हैं। इसे अच्छे से समझने के लिए नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

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Mean mode median in Hindi – माध्यिका , माध्य और बहुलक

पूछे जाने वाले महत्वपूर्ण प्रश्न – Important questions for statistics

प्रश : निम्नलिखित वितरण , 352 नीयन ल्मम्पस (Neon lamps) के जीवनकाल का डेटा दिया गया है , लेम्प्स के जीवनकाल की माध्यिका ज्ञात कीजिये।

जीवनकाल (घंटों में)	लैम्प्स की संख्या
1500-2000	14
2000-2500	56
2500-3000	60
3000-3500	86
3500-4000	74
4000-4500	62

उत्तर :

वर्ग अंतराल (class interval) से संबंधित संचयी आवर्ती (commutative frequency) :

जीवनकाल	लैम्प्स की संख्या (fi)	संचयी आवर्ती (cf)
1500-2000	14	14
2000-2500	56	14+56=70
2500-3000	60	70+60=130
3000-3500	86	130+86=216
3500-4000	74	216+74=290
4000-4500	62	290+62=352
कूल	352

यह देख सकते ही है कि संचयी आवर्ती थोड़ी सी बड़ी  n/2 ( 352/2 = 176 ) है जो कि 216 , 3000 – 3500 वर्ग अंतराल से संबंधित है।

तो ,

माध्यिका अंतराल = 3000 – 3500

माध्यिका अंतराल की निचली सीमा (l) = 3000

माध्यिका अंतराल की आवर्ती (f) = 86

माध्यिका अंतराल की अगली संचयी आवर्ती (cf) = 130

वर्ग माप (class size) = 500

Formula of median in statistics –

माध्यिका = l + { (n/2 – cf) / f} × h

             = 3000 + { (176 – 130) /86 } × 500

             = 3000 + (46/86)×500

             = 3000 + 267.44

             = 3267.44

इसलिए , लैंप के जीवनकाल की माध्यिका 3267.44 घंटे होगी।

प्रश्न : कक्षा के 28 विद्यार्थियों के वजन का वितरण निचे दिए गया है , विद्यार्थियों के माध्यिका वजन ज्ञात कीजिये।

वजन (kg में)	40-45	45-50	50-55	55-60	60-65	65-70
विद्यार्थियों की संख्या	2	3	8	6	6	3

उत्तर :

वर्ग अंतराल (class interval) से संबंधित संचयी आवर्ती (commutative frequency) :

वजन (kg में)	आवर्ती (f1)	संचयी आवर्ती (cf)
40-45	2	2
45-50	3	2+3=5
50-55	8	5+8=13
55-60	6	13+6=19
60-65	6	19+6=25
65-70	3	25+3=28
कूल (n)	30

यह देख सकते ही है कि संचयी आवर्ती थोड़ी सी बड़ी  n/2 ( 28/2 = 14 ) है जो कि 16 , 55 – 60 वर्ग अंतराल से संबंधित है।

तो ,

माध्यिका अंतराल = 55 – 60

माध्यिका अंतराल की निचली सीमा (l) = 55

माध्यिका अंतराल की आवर्ती (f) = 6

माध्यिका अंतराल की अगली संचयी आवर्ती (cf) = 13

वर्ग माप (class size) = 5

Formula of median in statistics

माध्यिका = l + { (n/2 – cf) / f} × h

             = 55 + { (14 – 13) /6 } × 5

             = 55 + (1/6)×5

             = 55 + 0.84

             = 55.84

इसलिए , विद्यार्थियों की माध्यिका वजन 60.81 kg है।

प्रश्न : निम्नलिखित से माध्यिका ज्ञात कीजिये।

4 , 7 , 18 , 11 , 20 , 37 , 21 ,  43 , 30 , 77 , 8 , 56 , 34

उत्तर : जब संख्याओं को क्रम में रखा जाता है

तब ,

4 , 7 , 8 , 11 , 18 , 20 , 21 , 30 , 34 , 37 , 43 , 56 , 77

यह कूल 13 संख्याएँ है। हमारी बीच की संख्या 7वीं होगी।

तो , दिए हुए सेट की माध्यिका 21 हैं।

प्रश्न : 10 observation की संख्याओं की माध्यिका क्या होगी।

उत्तर : 10 observations की संख्याओं की माध्यिका :

 (5th पद + 6th पद)/2

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