इस आर्टिकल (article) में हम माध्य के बारे में चर्चा और अध्ययन करेंगे। इसमें हम माध्य का फार्मूला (Mean formula in hindi) और उसे कैसे ज्ञात किया जाता है , वह सब जानेंगे।
तो आइए जानते हैं कि माध्य कैसे ज्ञात करते हैं।
गणित में माध्य की परिभाषा – What is mean in statistics :
Table of Contents
किसी भी डाटा का माध्य (Mean) एक अर्थमैटिक (arithmetic average) औसत होता है।
यदि डाटा के योग को उसके संख्याओं से विभाजित किया जाए तो वह उस डाटा का माध्य कहलाता है।
डेटा का औसत निकालने के लिए सांख्यिका (mean in statistics) में माध्य बहुत ही आसान तरीका है। माध्य के बारे में एक महत्वपूर्ण बात , माध्य का मान औसत का मान होता है जो कि डाटा के अधिकतम और न्यूनतम मान के बीच में होता है और माध्य (mean formula) का मान डाटा के observation में से नहीं होता है।
माध्य का general formula –
माध्य = observation का योग / observations की संख्या
असमुहीकृत डेटा के लिए माध्य का फार्मूला – Mean formula for ungrouped data in hindi
मान लीजिए x1 , x2 , x3 , . . . . . . . , xn डाटा के “n” observation है।
तो मध्य (mean formula in statistics) का मान –
x̄ = ΣXi / n
यहां ,
Xi = ith observation है
ΣXi = observations का योग
n = observation की संख्या
समूहीकृत डेटा के लिए माध्य का फार्मूला – Mean formula for grouped data in hindi
समूहीकृत डाटा के लिए माध्य ज्ञात करने के भिन्न-भिन्न तरीके हैं। जो कि डाटा के माप पर निर्भर करता है।
वह है –
1) Direct method
2) Assume mean method
3) Step deviation method
माध्य ज्ञात करने के तरीके – Methods for mean in hindi
माध्य ज्ञात करने के लिए मुख्य रूप से तीन तरीके है –
1) Direct method
2) Assume mean method
3) Step deviation method
माध्य के लिए direct method – Direct method formula
मान लीजिए x1 , x2 , x3 , . . . . . . . , xn डाटा के “n” observation हैं जिनकी आवर्ती (frequency) f1 , f2 , f3 , . . . . . . . , fn है।
तो Direct method से माध्य ज्ञात करने के लिए उसका फार्मूला –
और ,
Mean formula ;
यहां ,
Σfixi = observation का योग
Σfi = आवर्ती (frequency) का योग
माध्य के लिए assume mean method – assume mean method formula
इस तरीके में डाटा टेबल को आवर्ती वितरण (frequency distribution) टेबल के रूप में लिखना होता है उनके वर्ग (class) के साथ ,
तो assume mean method से माध्य ज्ञात करने का फॉर्मूला –
माध्य , x̄ = a + Σfidi/Σfi
Mean formula ;
यहां ,
a = assume mean
fi = वर्ग की ith आवर्ती
di = xi – a = वर्ग (class) की ith
विचलन (deviation)
Σfi = N = कूल observation की संख्या
xi = ( ऊपरी वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा )/2 = वर्ग चिन्ह
माध्य के लिए standard deviation method – standard deviation formula
जब डाटा के मान बड़े हो तब इस तरीके का इस्तेमाल माध्य ज्ञात करने के लिए किया जाता है। उसका फार्मूला –
माध्य (mean) , x̄ = a + { Σfiui/Σfi } × h
Mean formula ;
यहां ,
a = assume mean
fi = वर्ग की ith आवर्ती
xi – a = वर्ग (class) की ith
विचलन (deviation)
ui = (xi – a)/h
Σfi = N = कूल observation की संख्या
xi = ( ऊपरी वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा )/2 = वर्ग चिन्ह
माध्य कैसे ज्ञात करें – how to find the mean?
अगर हमें असमुहीकृत डेटा (un grouped data) दिया है तो हमें केवल उन सभी डाटा के observation का योग करने के बाद observation की कुल संख्या से विभाजित कर दे तो उस डेटा का माध्य (mean formula in statistics) ज्ञात किया जा सकता है।
समूहीकृत डाटा (grouped data) के लिए माध्य ज्ञात करने के लिए 3 फार्मूले हैं , जिसमें से सभी फार्मूले उन डेटा के माप (size) पर निर्भर करता है कि उन फार्मूले को कब और कहां उपयोग करना है।
तो इसे अधिक समझने के लिए कुछ उदाहरण देख लेते हैं।
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Mean mode median in Hindi – माध्यिका , माध्य और बहुलक
पूछे जाने वाले महत्वपूर्ण प्रश्न – Important questions for statistics
→ General फार्मूला के इस्तेमाल से-
प्रश्न : निम्नलिखित डेटा सेट के माध्य ज्ञात कीजिये
34 , 27 , 20 , 12 , 18 , 25 , 42 , 15 , 10
उत्तर : दिया गया ,
Xi = 34 , 27 , 20 , 12 , 18 , 25 , 42 , 15 , 10
n = 9
माध्य = ∑Xi/n
= (34 + 27 + 20 + 12 + 18 + 25 + 42 + 15 + 10)/9
= 203/9
= 22.5
इसलिए , दिए हुए डेटा सेट का माध्य 22.5 है।
→ Direct method के इस्तेमाल से ,
प्रश्न : निम्नलिखित डेटा में विद्यार्थियों के परीक्षा के अंक दिए हुए है , माध्य ज्ञात कीजिये।
| अंक | 24 | 42 | 35 | 40 | 30 | 27 | 21 | 25 |
| विद्यार्थियों की संख्या | 19 | 1 | 4 | 2 | 15 | 22 | 20 | 5 |
उत्तर :
चलिये पहले एक टेबल बना लेते है इनका योग ज्ञात करने के लिए ,
| अंक (Xi) | विद्यार्थियों की संख्या(fi) | (fiXi) |
| 24 | 19 | 456 |
| 42 | 1 | 42 |
| 35 | 4 | 140 |
| 40 | 2 | 80 |
| 30 | 15 | 450 |
| 27 | 22 | 594 |
| 21 | 20 | 420 |
| 25 | 5 | 125 |
माध्य = (∑fixi)/ ∑fi
= 2307 /86
= 26.8
इसलिए , दिये हुए डेटा सेट के माध्य 26.8 है।
→ Assume mean method के इस्तेमाल से ,
प्रश्न : इलाके के 68 उपभोक्ताओं के बिजिली का मासिक खपत का आवर्ती वितरण दिया गया है , माध्य ज्ञात कीजिये।
| मासिक खपत (प्रति यूनिट) | उपभोक्ताओं की संख्या |
| 68 – 85 | 4 |
| 85 – 105 | 5 |
| 105 – 125 | 13 |
| 125 – 145 | 20 |
| 145 – 165 | 14 |
| 165 – 185 | 8 |
| 185 – 205 | 4 |
उत्तर :
हर अंतराल के वर्ग चिन्ह के लिए ,
Xi = ( ऊपरी सीमा + निचली सीमा ) / 2
a (assumed mean) = 135 , fi , fiui की गणना नीचे दी गई है।
| मासिक खपत (प्रति यूनिट) | उपभोक्ताओं की संख्या (fi) | वर्ग चिन्ह (xi) | di= xi-135 | ui=di/20 | fiui |
| 68 – 85 | 4 | 75 | -60 | -3 | -12 |
| 85 – 105 | 5 | 95 | -40 | -2 | -10 |
| 105 – 125 | 13 | 115 | -20 | -1 | -13 |
| 125 – 145 | 20 | 135 | 0 | 0 | 0 |
| 145 – 165 | 14 | 155 | 20 | 1 | 14 |
| 165 – 185 | 8 | 175 | 40 | 2 | 16 |
| 185 – 205 | 4 | 195 | 60 | 3 | 12 |
| कूल | 68 | 7 |
Σfiui = 7
Σfi = 68
h = 20
माध्य , x̄ = a + { Σfiui / Σfi } × h
= 135 + { 7/68 } × 20
= 135 + 140/68
= 137.058
दिए गए आवर्ती वितरण का माध्य 137.058 हैं।
→ Step deviation method के इस्तेमाल से ,
प्रश्न : अध्यापक के पास पूरे साल का कक्षा के 38 विद्यार्थियों के अनुपस्थिति का रिकॉर्ड है , अनुपस्थित विद्यार्थियों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिये।
| दिनों की संख्या | 0-6 | 6-10 | 10-14 | 14-20 | 20-28 | 28-38 |
| विद्यार्थियों की संख्या | 11 | 10 | 7 | 4 | 4 | 3 |
उत्तर :
हर अंतराल के वर्ग चिन्ह के लिए ,
Xi = ( ऊपरी सीमा + निचली सीमा ) / 2
a (assumed mean) = 17, fi , fidi की गणना नीचे दी गई है।
| दिनों की संख्या | विद्यार्थियों की संख्या (fi) | xi | di=xi-17 | fidi |
| 0-6 | 11 | 3 | -14 | -154 |
| 6-10 | 10 | 8 | -9 | -90 |
| 10-14 | 7 | 12 | -5 | -35 |
| 14-20 | 4 | 17 | 0 | 0 |
| 20-28 | 4 | 24 | 7 | 28 |
| 28-38 | 3 | 33 | 16 | 48 |
| कूल | 40 | -181 |
Σfidi = -159
Σfi = 39
माध्य , x̄ = a + { Σfidi/ Σfi }
= 17 + { -159/39}
= 17 + (-4.07)
= 12.93
दिए गए आवर्ती वितरण का माध्य 12.93 दिन है।
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