Heron’s formula in hindi – हीरोन सूत्र

आपने अभी तक त्रिभुज के क्षेत्रफल (area of triangle) के लिए भिन्न-भिन्न सूत्र पढे होंगे। उनमें में एक अलग सूत्र है जिसका नाम हीरोन सूत्र है। इस सूत्र से हम हर प्रकार के त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

 त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of triangle) :

 यदि कोई एक समकोण चतुर्भुज (right angled triangle) है जिसका अवश्य ही आधार (base) और ऊंचाई (height or altitude) होगी , तो इसका सूत्र होगा।

Heron's formula in hindi - हीरोन सूत्र

 त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

Area of triangle = 1/2 × base × height

 परिभाषा –  हीरोन सूत्र (Defination of heron’s formula in hindi) :

हेरोन का सूत्र (कभी-कभी हीरो का सूत्र कहा जाता है) (heron’s formula) , जिसका नाम हीरो ऑफ अलेक्जेंड्रिया (hero of Alexandria) के नाम पर दिया गया है, तीनों भुजाएँ की लंबाई (length of sides) ज्ञात होने पर एक त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of triangle) देता है। अन्य त्रिभुज क्षेत्र सूत्रों के विपरीत, पहले त्रिभुज में कोण या अन्य दूरियों की गणना करने की आवश्यकता नहीं है।

हीरोन फार्मूला द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल (Heron’s formula in hindi) :

यह सूत्र उस स्थिति में सहायक होता है जब त्रिभुज की ऊंचाई (height of triangle) सरलता से ज्ञात ना हो सकते हो।

 मान लीजिए एक त्रिभुज ABC , जिसकी भुजाएं का मान a , b और c है तो त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल हीरोन सूत्र द्वारा ,

Heron's formula in hindi - हीरोन सूत्र

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a) (s – b) (s – c)

Area of triangle = √s(s – a) (s – b) (s – c)

 जहां a , b और c त्रिभुज की भुजाएं हैं ।

और ,

 s = त्रिभुज का अर्धपरिमाप (semi – perimeter of triangle)

s = (a + b + c )/2

s को त्रिभुज का अर्धपरिमाप (semi- perimeter) भी कहा जाता है और s का मान ज्ञात करने के लिए ऊपर दिए गए सूत्र का इस्तेमाल किया जाता है।

 आइए इससे  संबंधित कुछ उदाहरण देख लेते हैं , इसे और अधिक समझने के लिए ।

हिरोन फॉर्मूला से महत्वपूर्ण उदहारण (Important examples of heron’s formula) :

Q.1 एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके दो भुजाएँ 18 सेमी और 10 सेमी हैं और परिधि 42 सेमी है।

हल : मान लें कि त्रिकोण का तीसरा भुजा “x” है,

 अब,

त्रिभुज की तीन भुजाएँ 18 सेमी, 10 सेमी और “x” सेमी हैं

यह दिया जाता है कि त्रिभुज की परिधि = 42 सेमी तो,

x = 42 – (18 + 10) सेमी

   = 14 सेमी

Triangle त्रिभुज की अर्ध परिधि = 42/2

= 21 सेमी

 हीरोन के सूत्र का उपयोग करेंगे, त्रिभुज का क्षेत्रफल, = √[S (s-a) (s-b) (s-c)]

 = √[21 (21 – 18) (21 – 10) (21 – 14)] सेमी²

 = √[21 × 3 × 11 × 7] सेमी²

= 21√11 सेमी²

Q.2 एक त्रिभुज की भुजाएँ 12: 17: 25 के अनुपात में हैं और इसकी परिधि 540cm है। इसका क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

हल : त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12: 17: 25 है

 अब,

त्रिभुज की भुजाओं के बीच का सामान्य अनुपात “x” होने दें

 भुजाएँ 12x, 17x और 25x हैं

 यह भी दिया जाता है कि त्रिकोण की परिधि = 540 सेमी

12x + 17x + 25x = 540 सेमी

=> 54x = 540 सेमी

 तो, x = 10

अब, त्रिभुज की भुजाएँ 120 सेमी, 170 सेमी, 250 सेमी हैं। तो, त्रिभुज की अर्ध परिधि = 540/2 = 270 सेमी

 हिरोन के सूत्र का उपयोग करना,

त्रिभुज का क्षेत्रफल ,

 = √[s (s-a) (s-b) (s-c)]

 = √270 (270 – 120) (270 – 170) (270 – 250)

 = √ 270 × 150 × 100 × 20

 = 9000 सेमी²

Q.3 प्रति वर्ग मीटर 7 की दर से 50 मीटर, 65 मीटर और 65 मीटर की भुजाओं के त्रिभुजाकार क्षेत्र में घास बिछाने की लागत ज्ञात कीजिए।

हल : प्रश्न के अनुसार,

 त्रिकोणीय क्षेत्र की साइड्स 50 मीटर, 65 मीटर और 65 मीटर हैं।

एक त्रिकोणीय क्षेत्र में घास बिछाने की लागत = प्रति मी 2 रुपये

a = 50, b = 65, c = 65

s = (a + b + c) / 2

 ⇒ s = (50 + 65 + 65) / 2 = 180/2 = 90

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s (s-a) (s-b) (s-c))

 = √90 (90-50) (90-65) (90-65)

 = √(90 × 40 × 25 × 25)

= 1500 मी²

घास बिछाने की लागत = त्रिकोण का क्षेत्रफल × लागत प्रति मी²

 = 1500 × 7

 = 10.500 रु

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