इस आर्टिकल में हम घन के आयतन (Volume of a cube) के बारे में अध्ययन करेंगे।
घन का आयतन उसके किनारे के मान को खुद से ही तीन बार गुणा करने पर ज्ञात किया जा सकता है। उदाहरण के लिए यदि किनारे की लंबाई 8 cm है तो उसका आयतन 512 cm³ होगा। यह हमेशा याद रहे की घन की सभी किनारों की लंबाई (edge length) बराबर होती है। इसका माप क्यूबिक यूनिट में किया जाता है।
घन का आयतन पूरी तरह से घन की किनारे की लंबाई पर निर्भर करता है। यदि घन का अनुप्रस्थ काट (cross-section) ले तो यह एक वर्ग बनता है।
तो आइए इसे बेहतर तरीके से समझते हैं।
घन का आयतन – Volume of a cube
Table of Contents
घन एक ठोस 3-D आकार है। जिसमें 6 वर्ग और भुजा (side) होते हैं। घन का आयतन यह बताता है कि घन में कितने क्यूबिक यूनिट है। घन का आयतन ज्ञात करने के लिए घन का माप पता होना चाहिए।
घन का आयतन = a³
यदि हमें घन की किनारों की लंबाई “a” मालूम है तो घन का आयतन ज्ञात किया जा सकता है। तो आइए जानते हैं कि घन का आयतन कैसे निकालते हैं।
घन का आयतन का फार्मूला – Formula for volume of a cube
हम घन का आयतन आसानी से निकाल सकते हैं , घन के किनारों की लंबाई जानने पर।
मान लीजिए घन के किनारे की लंबाई “a” है। तब उसका आयतन लंबाई , ऊंचाई और चौड़ाई का गुणनफल होगा। इसलिए घन का आयतन का फार्मूला ―
यहां “a” घन के किनारे या side की लंबाई है।
Learn more : Formula for volume of a sphere
विकर्ण के लिए घन का आयतन का फार्मूला – Formula for volume of a cube when diagonal is given
यदि घन के विकर्ण की लंबाई “d” है तो घन का आयतन का फार्मूला ―
V = √3 × d³/9
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल का फार्मूला – Formula for surface area of a cube
समान तरीके से हम घन का क्षेत्रफल भी निकाल सकते हैं। जिसमें सभी वर्ग यूनिट का योग यानी सभी वर्ग का क्षेत्रफल होगा।
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल का फॉर्मूला (formula for surface area of cube) ―
S = a² + a² + a² + a² + a² + a²
= 6a²
S = 6a²
यहां “a” घन के किनारे या side की लंबाई है।
घन के आयतन के उदहारण – Examples of volume of a cube
उदहारण : यदि घन की भुजा की लंबाई 9 cm है तो घन का आयतन ज्ञात कीजिए।
उत्तर : घन की भुजा की लंबाई = 9 cm
घन का आयतन = (घन की भुजा की लंबाई)³
V = a³
= (9)³
= 729 cm³
इसलिए , घन का आयतन 729 cm³ होगा।
उदहारण : यदि घन का आयतन 64 cm³ है तो घन की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजीए।
उत्तर : घन का आयतन = 64 cm³
मान लेते है कि घन की भुजा की लंबाई “a” है।
तो ,
घन का आयतन = (घन की भुजा की लंबाई)³
64 = a³
a = ³√64
= 4
इसलिए , घन की भुजा की लंबाई 4 cm होगी।
उदहारण : घन का आयतन ज्ञात कीजिये यदि घन की भुजा की लंबाई 12 cm दी हुई है।
उत्तर : घन की भुजा की लंबाई = 12 cm
घन का आयतन = (घन की भुजा की लंबाई)³
V = a³
= (12)³
= 1728 cm
इसलिए , घन का आयतन 1728 cm³ होगा।
उदहारण : यदि किसी घन को पिघला कर छोटे-छोटे कुछ घन में बदल दिया जाए। जिसमे घन का आयतन 512 cm³ है और छोटे वाले घन की भुजा की लंबाई 4 cm है तो छोटे वाले घनो की संख्या क्या होगी।
उत्तर : घन का आयतन = 512 cm³
घन का आयतन = (घन की भुजा की लंबाई)³
घन का आयतन = n × (छोटे घन का आयतन)³
यहाँ n घनो की संख्या है।
512 = n × (4)³
512 = n × 64
n = 512 / 64
= 8
इसलिए , छोटे घनो की संख्या 8 होगी।
पूछे जाने वाले प्रश्न – FAQ for volume of a cube
प्रश्न : घन में कितने फलक (चेहरे) और किनारे होते है ?
उत्तर : घन में , 12 किनारे और 6 फलक (चेहरे) होते है। हर एक फलक का पृष्ठीय क्षेत्रफल a² होता है।
प्रश्न : घन के आयतन और उसके भुजाओं की लंबाई में क्या संबंध है ?
उत्तर : घन का आयतन a³ होता है जिसका मतलब (घन का आयतन ∝ a) तो घन का आयतन , भुजा की लंबाई के सीधे आनुपातिक है।
प्रश्न : यदि घन के विकर्ण की लंबाई 5 cm है तो घन का आयतन क्या होगा।
उत्तर : विकर्ण की लंबाई = 5 cm
विकर्ण के लिए घन का आयतन का फार्मूला = √3 × d³/9
तो , V = √3 × (5)³/9
= √3 × 125/9
= √3 × 13.8
= 1.73 × 13.8
V = 24.08 cm³
प्रश्न : घन का आयतन का फार्मूला क्या है ?
उत्तर : घन का आयतन का फार्मूला ―
घन का आयतन = (घन का किनारे की लंबाई)³
V = a³
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