इस आर्टिकल में हम गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल के फार्मूला (Surface area for sphere formula) को अध्ययन करेंगे।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल यह बताता है कि गोले का बाहरी सतह कितना जगह घेर रहा है 3D स्थान में। गोला एक 3-D ठोस गोल आकार का होता है जैसे एक वृत्त (circle) होता है। गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का फार्मूला (formula for surface area of a sphere) ―
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
यहां “r” गोले की त्रिज्या होती है।
किसी गोला और वृत्त में यह अंतर होता है कि वृत्त एक 2-D और चपटा (flat) आकार का होता है वहीं गोला एक 3-D आकार का होता है इसलिए वृत्त का क्षेत्रफल , गोले के क्षेत्रफल से अलग होता है।
वृत्त का क्षेत्रफल (Area of circle) = πr²
तो आइए इसे और बेहतर तरीके से समझते है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल – Surface area of sphere
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काल्पनिक सोचा जाए तो , गोला एक 3-D ढांचा है जो कि किसी गेंद की तरह है। मान लीजिए यदि किसी गेंद को रंग दिया जाए जो जितना गेंद का स्थान रंगित है वह उस गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल , गोले का पूरा बाहरी सतह के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल का फार्मूला – Formula for surface area of a sphere
यदि किसी गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना हो तो उसके लिए फार्मूला की आवश्यकता होती है। गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल पूर्ण रूप से गोले की त्रिज्या पर निर्भर करता है। इससे हमें एक यह महत्वपूर्ण चीज पता चला कि गोले का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए गोले की त्रिज्या या व्यास का पता होना आवश्यक है।
तो ,
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल का फार्मूला (surface area for sphere formula) ―
यहां “r” गोले की त्रिज्या है।
कोई भी 3-D आकार के लिए क्षेत्रफल तीन भाग में बटा हुआ है। जो कि ―
1) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved surface area)
2) पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral surface area)
3) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total surface area)
गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का फार्मूला – Formula for curved surface area of sphere
गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल , गोले की घुमावदार सतह का स्थान का क्षेत्रफल बताता है।
गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का फार्मूला (Formula for curved surface area of sphere) ―
A = 4πr²
यहां “r” गोले की त्रिज्या है।
गोले का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का फार्मूला – Formula of lateral surface area of sphere
गोले का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल , गोले का वह क्षेत्रफल बताता है जिसमें केवल आकार का आधार क्षेत्रफल की गणना नहीं होती है। क्योंकि गोले में कोई आधार (Base) नहीं होता है इसलिए इसका भी फार्मूला ऊपर वाले की तरह ही होगा।
A = 4πr²
गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का फार्मूला – Formula of total surface area of sphere
गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल , वह क्षेत्रफल बताता है जिसमे ठोस आकार का सभी हिस्सों का क्षेत्रफल (साइड , ऊपर , निचला) की गणना होती है। गोले के लिए , यदि का इसका चपटा सतह नहीं है तो ,
गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total surface area of a sphere formula) = 4πr²
यहाँ “r” गोले की त्रिज्या है।
Learn more : Formula for volume of a sphere
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल के उदहारण – Examples for surface area of sphere
उदहारण : यदि गोले की त्रिज्या 8 cm है तो गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
उत्तर : गोले की त्रिज्या = 8 cm
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
क्षेत्रफल = 4 × 22/7 × (8)
= 88/7 × 64
= 5632/7
= 804.5 cm²
इसलिए , गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 804.5 cm² होगा।
उदहारण : किसी फुटबॉल का व्यास 18 cm है तो फुटबॉल का पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना होगा ?
उत्तर : फुटबॉल का व्यास = 18 cm
त्रिज्या = d/2
= 18/2
= 9 cm
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
फुटबॉल का क्षेत्रफल = 4 × 22/7 × (9)²
= 88/7 × (81)
= 7128/7
= 1018.28 cm²
इसलिए , फुटबॉल का पृष्ठीय क्षेत्रफल 1018.28 cm² होगा।
उदहारण : किसी गोले की त्रिज्या 4.2 cm के बराबर है तो गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा ?
उत्तर : गोले की त्रिज्या = 4.2 cm
गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 πr²
= 4 × 22/7 × 4.2 × 4.2
= 88/7 × 17.64
= 88 × 2.52
= 221.76 cm²
उदहारण : एक गोल फुटबॉल की त्रिज्या 21 cm है तो फुटबॉल पेंट करने की कीमत ज्ञात कीजिये। यदि फुटबॉल की पेंट करने की कीमत दर 1.5/cm² है।
उत्तर : फुटबॉल की त्रिज्या = 21 cm
फुटबॉल का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 4πr²
= 4 × 22/7 × 21 × 21
= 88 × 63
= 5544 cm²
इसलिए , फुटबॉल को पेंट करने में कुल कीमत 5544 × 1.5 = 8316₹ की आएगी।
उदहारण : यदि किसी गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 cm² है तो उस गोले का व्यास क्या होगा ?
उत्तर : गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 616 cm²
गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
तो ,
4πr² = 616
4 × 22/7 × r² = 616
r² = (616 × 7)/4 × 22
= (28 × 7)/4
= 196/4
= 49
r² = 49
r = √49
= 7
r = 7 cm
इसलिए , गोले का व्यास = 2 × त्रिज्या
व्यास = 2 × 7
= 14 cm
पूछे जाने वाले प्रश्न – FAQ for surface area for sphere formula
प्रश्न : गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है ?
उत्तर : गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल , 3-D स्थान में गोले का बाहरी सतह का कुल क्षेत्रफल होता है।
प्रश्न : गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे निकालते है ?
उत्तर : गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने के लिए फार्मूला का इस्तेमाल करना होगा ―
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
यहाँ “r” गोले की त्रिज्या है।
प्रश्न : अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है ?
उत्तर : अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल , अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले का आधार का क्षेत्रफल का योग के बराबर होता है। अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल का फार्मूला 3πr² होता है।
प्रश्न : गोले का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है ?
उत्तर : गोले का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल , गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के समान होता हैं न केवल फार्मूला , गोले में इनका वास्तविक अर्थ भी समान होता है।
प्रश्न : शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है ?
उत्तर : शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल , शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंकु के आधार का क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है। शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल का फार्मूला ―
S = πrl + πr²
= πr (l + r)
यहाँ “l” शंकु की तिरछी ऊँचाई है और “r” शंकु की त्रिज्या है।
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