इस आर्टिकल में हम सभी के विभाज्यता नियमों (Divisibility rules) को अध्ययन करेंगे।

विभाज्यता नियम और विभाज्यता का परीक्षण (vibhajita ke niyam) ने भाग के तरीके को और भी आसान और जल्दी बना दिया है। यदि कोई विद्यार्थी गणित में विभाज्यता के नियम या विभाज्यता परीक्षण (Divisibility rules) सीख ले तो वे वे आसानी से इससे संबंधित प्रश्नों को हल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए 11 का विभाज्यता का नियम बताता है कि कौन सी संख्या 11 से पूर्ण रुप से विभाज्य है ऐसे ही इसके कई नियम है 1 से 13 तक।

तो आइए जानते हैं कि विभाज्यता के नियम क्या है?

विभाज्यता परीक्षण / विभाज्यता नियम – Division rule in math / Divisibility test

जैसे कि नाम से ही पता चल रहा है विभाज्यता परीक्षण या विभाज्यता नियम गणित में संख्या के विभाज्यता पता करने में मदद करता है। यदि कोई संख्या पूर्ण रूप से दूसरी संख्या से विभाज्य है तो भागफल (quotient) पूर्ण संख्या और शेषफल (remainder) शून्य होगा , क्योंकि सभी संख्याएं पूर्ण  रूप से विभाज्य नहीं होंगी किसी दूसरी संख्या से तो वह कुछ शेषफल देंगे शून्य के अलावा। यह नियम बताता है कि दी गई संख्या से कौन सी संख्याएं विभाज्य होगी।

1 का विभाज्यता नियम – Divisibility rule of 1

सभी संख्याएं “1” से विभाज्य होती हैं। “1” के लिए कोई विभाज्यता का नियम नहीं है। किसी भी संख्या को 1 से भाग करने पर वह संख्या खुद आती है चाहे वह कितनी ही बड़ी संख्या क्यों ना हो।

उदाहरण के लिए , 4 ,1 से विभाज्य और 50,000 भी 1 से विभाज्य है।

2 का विभाज्यता नियम – Divisibility rule by 2

यदि संख्या सम संख्या (Even number) या किसी संख्या के आखिरी अंक सम संख्या है यानी (2 , 4 , 6 , 8 और 0) तो वह है पूर्ण रूप से 2 से विभाज्य होगा।

उदाहरण : 704 एक सम संख्या है और 2 से विभाज्य है लेकिन 705 सम संख्या नहीं है इसलिए यह 2 से विभाज्य नहीं है।

इसका परीक्षण करने के लिए ―

• संख्या 704 को लीजिए।

• इसका आखिरी अंक 4 है।

• यदि आखिरी अंक 2 से    विभाज्य है तो 704 भी 2 से विभाज्य होगा।

3 का विभाज्यता नियम – Divisibility rule by 3

“3” की विभाज्यता नियम यह कहता है कि यदि कोई संख्या 3 से विभाज्य है तो उस संख्या के अंकों के योग (Sum of digits) भी 3 से विभाज्य होगा।

उदहारण : मान लीजिए 506 एक संख्या है , इसका परीक्षण करने के लिए ―

• संख्या के अंकों का योग करेंगे (506 = 5 + 0 + 6 = 11) अब जांच करेंगे कि योग 3 से विभाज्य है या नहीं। यदि योग 3 का भाजक है तो वास्तविक संख्या भी 3 से विभाज्य होगी। उसी तरह 506 , 3 से विभाज्य नहीं होगा क्योंकि इसका योग 3 से विभाज्य नहीं है।

4 का विभाज्यता नियम – Divisibility rule by 4

यदि संख्या के आखिरी दो अंक 4 से विभाज्य हैं तो पूर्ण संख्या भी 4 से विभाज्य होगी।

उदाहरण : मान लीजिए 5632 संख्या है इसके आखरी के दो अंक (32) हैं। जैसे 32 , 4 से विभाज्य है तो 5632 भी 4 से विभाज्य होगा।

5 का विभाज्यता नियम – Divisibility rule 5

यदि संख्या के आखिरी अंक में 0 या 5 है तो वह 5 से अवश्य ही विभाज्य होगा।

उदाहरण : 20 , 200 , 505 , 56787065 और आदि।

6 का विभाज्यता नियम – Divisibility rule 6

यदि संख्या 2 और 3 से विभाज्य है तो वह संख्या 6 से भी विभाज्य होगा। 6 से विभाज्यता के लिए संख्या का आखिरी अंक सम संख्या और संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए

उदाहरण : 828 संख्या 2 से विभाज्य है क्योंकि इसका आखिरी अंक सम संख्या है। संख्या के अंकों का योग (8 + 2 + 8 = 18) जो कि 3 से विभाज्य है इसलिए 828 , 6 से विभाज्य होगा।

7 का विभाज्यता नियम – Divisibility rule by 7

 7 की विभाज्यता नियम (Divisibility rule by 7) यह कहता है कि यदि किसी संख्या के आखिरी अंक को 2 से गुणा करके बची हई संख्या में से घटा देंगे और आया उत्तर 7 से विभाज्य है तो पूर्ण संख्या भी साथ विभाज्य होगी।

उदाहरण : क्या 256 , 7 से विभाज्य है ?

• संख्या की आखिरी अंक 6 होगी और उसे 2 से गुणा करेंगे –

= 6 × 2

= 12

• अब बची हुई संख्या (25) में से 12 को घटा देंगे।

= 25 – 12

= 13

• तो 13 , 7 से विभाज्य नहीं है इसीलिए 256 भी 7 से विभाज्य नहीं होगा।2

8 का विभाज्यता नियम – Divisibility rule by 8

यदि संख्या के आखिरी तीन अंक 8 से विभाज्य हैं तो पूर्ण संख्या भी 8 से विभाज्य होगी।

उदाहरण : मान लीजिए 53628 संख्या है इसके आखिरी तीन अंक की संख्या (628) है यह “8” से विभाज्य नहीं है। इसलिए 53628 भी 8 विभाज्य नहीं होगा।

9 का विभाज्यता नियम – Divisibility rule by 9

9 की विभाज्यता नियम , 3 की विभाज्यता नियम जैसा ही है यदि संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य है तो पूर्ण संख्या भी 9 से विभाज्य होगी।

उदाहरण : मान लीजिये 56328 संख्या है इसके अंकों का योग  (5 + 6 + 3 + 2 + 8 = 24) 9 से विभाज्य नहीं है इसलिए 56328 भी 9 से विभाज्य नहीं होगा।

10 का विभाज्यता नियम – Divisibility rule of 10

“10” की विभाज्यता नियम यह कहता है कि यदि संख्या के आखिरी अंक में शून्य है तो वह संख्या 10 से अवश्य ही विभाज्य होगा।

उदाहरण :  20 , 40 , 60 , 500 , 700 , 800 , 1000 , 20000 और आदि।

11 का विभाज्यता नियम – Divisibility rule 11

11 की विभाज्यता नियम (Divisibility rule by 11) यह कहता है कि संख्या के सम अंकों के योग और विषम अंको के योग का अंतर यदि 11 से विभाज्य है तो पूर्ण संख्या में 11 से विभाज्य होगा।

उदाहरण : 1331 एक संख्या है इसकी सम अंको की संख्या का योग ( 1 + 3 = 4) और विषम अंको की संख्या का योग (3 + 1 = 4)। इनका अंतर (4 – 4 = 0) यदि यह 11 का भाजक या 0 होता है तो पूर्ण संख्या 11 से विभाज्य होती है उसी प्रकार 1331 , 11 से विभाज्य है।

12 का विभाज्यता नियम – Divisibility rule 12

यदि संख्या 3 और 4 दोनों से विभाज्य है तो संख्या 12 से भी विभाज्य होगी।

उदाहरण : मान लीजिये 7828 संख्या है ―

• 3 की विभाज्यता के लिए , अंकों का योग (7 + 8 + 2 + 8 = 25) 3 से विभाज्य नहीं है।

• 4 की विभाज्यता के लिए , आखिरी दो अंक (28) , 4 से विभाज्य है।

• तो 7828 , 4 से विभाज्य है लेकिन 3 से नहीं इसलिए 7828 , 12 से विभाज्य नहीं होगा।

13 का विभाज्यता नियम – Divisibility rule by 13

यदि किसी संख्या की आखिरी अंक को 4 से गुणा कर के बची हई संख्या में जमा कर देंगे और आया उत्तर यदि 13 से विभाज्य है तो पूर्ण संख्या भी 13 से विभाज्य होगी।

उदाहरण : 3865 = 386 + (5 × 4)

                         = 386 + 20

                         = 406

दोबारा ,

406 = 40 + (6 × 4)

        = 40 + 24

        = 64

64 , 13 से विभाज्य नहीं है इसलिए 3865 भी 13 से विभाज्य नहीं होगा।

Learn more : Divisibility rule for 17 | विभाज्यता नियम

विभाज्यता नियम के उदहारण – Examples of divisibility rule

उदहारण : जाँच कीजिये की 356 , 2 से विभाज्य है या नही।

उत्तर : दी गई संख्या 356 है।

यदि 356 की आखिरी संख्या 2 से विभाज्य है तो 356 भी 2 से विभाज्य होगा।

उसी तरह 356 की आखिरी संख्या 6 है जो कि 2 से विभाज्य है इसलिए 356 भी 2 से विभाज्य होगा।

उदहारण : जांच कीजिये कि 255 , 9 से  विभाज्य है या नही।

उत्तर : दी गई संख्या 255 है।

यदि 255 संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य है तो 255 भी  9 से विभाज्य होगा।

उसी तरह 255 संख्या के अंकों का योग ( 255 = 2 + 5 + 5 = 12) तो 12 , 9 से विभाज्य नही है इसलिए 255 भी 9 से विभाज्य नही होगा।

सामान्यतःपूछे जाने वाले प्रश्न – FAQ of divisibility rule

प्रश्न : विभाज्यता नियम का मतलब क्या होता है ?

उत्तर : विभाज्यता परीक्षण एक बहुत ही आसान तरीका है पता करने का की दी गई संख्या किसी निश्चित संख्या से विभाज्य है या नही वो भी बिना भाग किये। यदि  संख्या पूर्ण रूप से विभाज्य है दूसरी संख्या से तो भागफल पूर्ण संख्या होगी और शेषफल शून्य होगा।

प्रश्न : 3 और 5 का विभाज्यता नियम क्या है ?

उत्तर : 3 की विभाज्यता नियम : संख्या को 3 से विभाज्य होने के लिए संख्या के अंकों के योग को 3 विभाज्य होना चाहिए।

5 की विभाज्यता नियम : संख्या को 5 से विभाज्य होने के लिए संख्या के आखिरी अंक में 5 या 0 होना चाहिए।

प्रश्न : 11 की विभाज्यता नियम क्या है ?

उत्तर : 11 की विभाज्यता नियम : संख्या को 11 से विभाज्य होने के लिए संख्या के सम अंकों के संख्या का योग और विषम अंकों के संख्या का योग , का अंतर 11 से विभाज्य या 0 होना चाहिए।

प्रश्न : 6 का विभाज्यता नियम क्या है ?

उत्तर : संख्या को 6 से विभाज्य होने के लिए संख्या को 2 और 3 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

2 से मतलब संख्या के आखिरी अंक में सम संख्या संख्या और 3 से मतलब संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिये।

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