यदि आप इसे अध्ययन करना चाहते हैं तो आपको पहले समतल आकृतियों , जैसे आयत , वर्ग ,समानांतर चतुर्भुज , त्रिभुज और वृत्त की परिमाप और क्षेत्रफलो को ज्ञात करने की कुछ विधियों से परिचित होना होगा।
दैनिक जीवन में हमें जो वस्तुएं देखने को मिलती हैं , उनमें से अनेक एक न एक रूप में वृत्तीय (circle) आकार से संबंधित होती हैं। जैसे साइकिल के पहिए, ठेला , डार्टबोर्ड (dartboard) [एक ऐसा बोर्ड जिस पर तीर फेंक कर खेल सकते हैं] , गोल केक (cake) , पापड़ , नाले के ढक्कन , विभिन्न प्रकार की चूड़ियां , वॉशर , फूलों की कुंवारिया इत्यादि।
इस आर्टिकल (article) में हम यह पढ़ेंगे की , वृत्त के परिमाप (परिधि) (perimeter) और क्षेत्रफल ज्ञात करना , परंतु यह मामूली वृत्त का नहीं , वृत्त से बने त्रिज्यखंड और वृत्त खंड को ज्ञात करना सीखेंगे। दैनिक जीवन में इस्तेमाल की जाने वस्तुओं से बनी वृत्तीय आकृतियों का भी परिमाप और क्षेत्रफल का अध्ययन करेंगे।
वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल – perimeter and area of a circle :
यदि किसी वृत्त (circle) के रेखा पर एक बार चलने पर तय की गई दूरी उसका परिमाप (perimeter) कहलाता है। जिसे परिधि (circumference) भी कहा जाता है।
जैसा कि आपको मालूम होगा की परिधि का अनुपात व्यास (diameter) के साथ एक अचर (constant) कहलाता है , जिसे हम ‘π’ (pi) पाई पढ़ा जाता है।
परिधि / व्यास = 2πr
परिधि = π × व्यास
= π × 2r
= 2πr
वृत्त के परिधि = 2πr
Circumference / diameter = π
Circumference of circle = 2πr
यहां ‘r’ वृत्त की त्रिज्या (radius) है।
तो जैसा कि हमें मालूम है कि ‘π’ पाई का मान 22/7 या 3.14 लेते हैं , तब प्रश्नों में हमें इन्हें ही इस्तेमाल करना होगा।
यदि हमें अर्धवृत्त का परिमाप या परिधिबज्ञात करना हो जिसकी त्रिज्या ‘r’ हैं ,
अर्धवृत्त की परिधि = 1/2 × 2πr = πr
Perimeter of a semicircle = πr
यदि हमें वृत का क्षेत्रफल ज्ञात करना हो जिसकी त्रिज्या ‘r’ है ,
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
Area of a circle = πr²
वहीं ,
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = 1/2 × πr²
Area of semi-circle = 1/2 × πr²
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (Area of sector) :
आप पहले भी त्रिज्यखंड (sector) शब्द से परिचित होंगे। आपको मालूम होगा कि किसी वृत्त में दो त्रिज्याओं से घिरा हुआ क्षेत्र त्रिज्यखंड कहलाता है।
उस वृत्त में वृत्त के केंद्र बिंदु से त्रिज्यखंड द्वारा बनाया गया कोण जिसे त्रिज्यखंड (sector) का कोण (angle) कहा जाता है। जो वृत्त के केंद्र बिंदु पर होता है।
मान लीजिए कोई वृत्त है जिसका केंद्र बिंदु O है उस वृत में दो त्रिज्या द्वारा एक त्रिज्यखंड बनाया गया OAPB और उस त्रिज्यखंड का कोण AOB होगा।
यदि हम त्रिज्यखंड (sector OAPB) को छायांकित (shaded) कर दें तो वह त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल कहलाता है और यदि त्रिज्यखंड के रेखा पर चले तो तय की गई दूरी त्रिज्यखंड की परिधि (circumference) कहलाता है। आइये इन दोनों के सूत्र देख लेते हैं ,
त्रिज्यखंड की परिधि = θ/360 × 2πr
Perimeter of sector = θ/360 × 2πr
यहां ‘θ’ त्रिज्यखंड का कोण है और इसका माप (degree) में होता है , और ‘r’ वृत्त की त्रिज्या है।
इसे लघु त्रिज्यखंड (minor sector) भी कहते हैं।
यदि हमें किसी वृत्त का दीघर् त्रिज्यखंड (major sector) का क्षेत्रफल या परिधि (perimeter) ज्ञात करनी हो तो उससे पहले हम यह जान लेते हैं कि यह होता क्या है ?
दीघर् त्रिज्यखंड वह है यदि हम किसी वृत्त के लघु त्रिज्यखंड (major sector) को निकाल दें तो हमारे पास दीघर् त्रिज्यखंड बचता है , इसे ज्ञात करने के दो तरीके हैं –
मान लीजिए कोई वृत्त QAPB है और उसका केंद्र बिंदु O है और त्रिज्या ‘r’ है। उसमें हम एक त्रिज्यखंड बनाते हैं OAPB जो कि लघु त्रिज्यखंड कहलायेगा।
1)यदि हम पूरे वृत्त के क्षेत्रफल से लघु त्रिज्यखंड हटा दें तो बचा हुआ क्षेत्रफल हमारा दीघर् त्रिज्यखंड कहलाता है।
दीघर् त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= πr² – θ/360 × πr²
Area of major sector = area of a circle – area of a minor sector
= πr² – θ/360 × πr²
2) यदि लघु त्रिज्यखंड (minor sector) का कोण ‘θ’ है तो दीघर् त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल इस तरह ज्ञात कर सकते हैं –
दीघर् त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ – 360)/360 × πr²
area of major sector = (θ – 360)/360 × πr²
यदि हमें दीघर् त्रिज्यखंड की परिधि (perimeter of major sector) ज्ञात करना हो तो – अगर हमें दीघर् त्रिज्यखंड का कोण मालूम है तू जो हमने ऊपर पहले परिधि का सूत्र पढ़ा था उसी से ज्ञात हो जाएगा परंतु यदि हमें लघु त्रिज्यखंड का कोण दिया हुआ है तब , हम सूत्र का इस्तेमाल करेंगे ,
दीघर् त्रिज्यखंड की परिधि = (θ – 360)/360 × πr²
Perimeter of major sector = (θ – 360)/360 × πr²
वृत्तखंड का क्षेत्रफल (Area of segment) :
आप पहले भी वृत्तखंड से परिचित होंगे। आपको मालूम होगा कि वृत्तिय क्षेत्र का वह भाग जो एक जीवा और संगत चाप के बीच में परिबंध हो वह एक वृत्तखंड कहलाता है।
मान लीजिये एक वृत्त QAPB है , जिसका केंद्र बिंदु O है इस वृत्त का वृत्तखंड APB है। यदि हम इसे छायांकित (shaded) कर दें तो यह लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल APB कहलाता है।
यदि हमें इसका क्षेत्रफल ज्ञात करना हो तो , हमें वृत्तखंड पर एक त्रिज्यखंड केंद्र बिंदु के साथ बनाना पड़ेगा। अगर हम बने चित्र को ध्यान से देखेंगे तो उसमें तीन आकृतियां दिखाई देंगे। पहली एक त्रिज्यखंड , दूसरा एक त्रिभुज और तीसरा वृत्तखंड।
यदि कोई वृत्त QAPB है जिसमे वृत्त का मान लीजिये एक वृत्त QAPB है , जिसका केंद्र बिंदु O है इस वृत्त का वृत्तखंड APB है। यदि हम इसे छायांकित (shaded) कर दें तो यह लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल APB कहलाता है।
यदि हमें इसका क्षेत्रफल ज्ञात करना हो तो , हमें वृत्तखंड पर एक त्रिज्यखंड केंद्र बिंदु के साथ बनाना पड़ेगा। अगर हम बने चित्र को ध्यान से देखेंगे तो उसमें तीन आकृतियां दिखाई देंगे। पहली एक त्रिज्यखंड , दूसरा एक त्रिभुज और तीसरा वृत्तखंड।
यदि कोई वृत्त QAPB है जिसमे वृत्त का वृत्तखंड APB है तो , हम उस ही वृत्त में एक त्रिज्यखंड को बनाने OAPB पर जिसका कोण ‘θ’ है और त्रिज्या ‘r’ है तो उसमें एक त्रिभुज OAB भी बनेगा , तब वृत्तखंड का क्षेत्रफल होगा ,
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल
= θ/360 × πr² – 1/2 × b × h
Area of segment = area of sector – area of triangle APB है तो , हम उस ही वृत्त में एक त्रिज्यखंड को बनाने OAPB पर जिसका कोण ‘θ’ है और त्रिज्या ‘r’ है तो उसमें एक त्रिभुज OAB भी बनेगा , तब वृत्तखंड का क्षेत्रफल होगा ,
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल
= θ/360 × πr² – 1/2 × b × h
Area of segment = area of sector – area of triangle
इसे हम लघु वृत्तखंड (minor segment) भी कह सकते है।
यदि हमें दीघर् वृत्तखंड QAB क्षेत्रफल ज्ञात करना हो तो , हमे लघु वृत्तखंड का मान ज्ञात करना आवश्यक है और उसका सूत्र होगा –
दीघर् वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल
Area of major segment = area of circle – area of minor segment
= πr – [ θ/360 × πr² – 1/2 × b × h ]
यहाँ ‘r’ की त्रिज्या है और ‘θ’ कोण है।
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